dsPIC33FJ64GP802 (22) --- 周波数シフター (6)

　前回と同様に、"Table of Integrals, Series, and Products" から引用した式を示します。
　まず、方形波の場合です。

$\hspace{-2em}\displaystyle \begin{align} \sum_{k\;=\;1}^\infty \frac{\sin(2k-1)x}{2k - 1} &= \frac{\pi}{4}\,\mathrm{sign}\ x & [-\pi < x < \pi ] \tag{1.442-1.} \\ \mathstrut \\ \sum_{k\;=\;1}^\infty \frac{\cos(2k-1)x}{2k - 1} &= \frac{1}{2}\,\ln \cot \frac{x}{2} & [0 < x < \pi ] \tag{1.442-2.} \end{align}$

　1.442-1. 式の右辺の「 $\mathrm{sign}\ x$ 」は、

$( x < 0)$ なら -1

$( x = 0)$ なら 0

$( x > 0)$ なら +1

を返す関数です。
　1.442-1. 式の右辺の関数のグラフは次のようになります。

　原点 (0, 0) に関して奇対称 (奇関数) になるように配置した方形波です。　奇関数なので、フーリエ展開のコサイン成分はすべてゼロになり、サイン成分のみで構成されます。
　そのフーリエ展開である 1.442-1. 式の左辺の各項の係数をそのままに、サイン関数からコサイン関数に置き換えたものが 1.442-2. 式です。
　1.442-2. 式の右辺の関数をプロットすると下のようになります。

　方形波を違う配置にした場合の式を次に示します。

$\hspace{-5em} \displaystyle \sum_{k\;=\;1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{\sin (2k-1) x}{2k-1} = \frac{1}{2}\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \qquad [-\pi < x < \pi ] \tag{1.442-3.}$

$\hspace{-5em} \displaystyle \sum_{k\;=\;1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{\cos (2k-1) x}{2k-1} = \begin{cases}\displaystyle \ \frac{\pi}{4} & [-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} ] \\ \mathstrut \\ \displaystyle -\frac{\pi}{4} & [\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2} ] \end{cases} \tag{1.442-4.}$

　1.442-4. 式の方形波の配置を示すグラフを下に示します。

　原点 (0, 0) に対して偶対称 (偶関数) になるような配置です。　偶関数なのでフーリエ展開のサイン成分はすべてゼロとなり、コサイン成分のみが残ります。
　1.442-4. 式の左辺の展開係数はそのままに、コサイン関数からサイン関数に置き換えたものが 1.442-3. 式です。
　1.442-3. 式の右辺の関数のグラフを下に示します。

　この 1.442-3. 式の右辺の関数、および 1.442-2. 式の右辺の関数は「グーデルマン関数 (Gudermannian function)」の逆関数と関連しています。
　グーデルマン関数というと馴染みがない感じですが、実は、1 次 RC (LC) 回路の位相特性のグラフとして良く目にしています。
　次回は、そのあたりを説明します。