Gilbert Sine Shaper (6)

最後に残ったのは tanh 関数の(逆)フーリエ変換を求めることですが、当然、自力では計算できないので、公式に頼ることになります。
「岩波 数学公式」II 巻、§53、pp.278 に双曲線関数フーリエ変換の表が載っています。
その最初の行が、

\qquad\qquad f(x) = {\mathrm cosech}\, a x \qquad \qquad [ a > 0 ]
\qquad\qquad F(y) = i \cdot \frac{\sqrt{\pi / 2}}{a} \tanh \left( \frac{\pi y}{2 a} \right)

であり、フーリエ変換後に tanh が現れる式となっています。
つまり、tanh 関数の「逆フーリエ変換」が cosech 関数になるということです。
この公式を利用するために、ポアソンの和公式で「逆」フーリエ変換の値を使うような形の式を選択したのです。
必要なのは \tanh(y) の逆フーリエ変換ですから、上の公式の tanh 関数の係数が 1 になるように調整すると、
\qquad\qquad F(y) =  \tanh \left( \frac{\pi y}{2 a} \right)
\qquad\qquad f(x) = -i \cdot a \sqrt{\frac{2}{\large \pi}}\,{\mathrm cosech}( a x )\qquad \qquad [ a > 0 ]
となります。 さらに、2 a = \pi と選べば、tanh 関数の引数が y だけになります。
\qquad\qquad F(y) =  \tanh ( y )
\qquad\qquad \begin{eqnarray} f(x) &=& -i \cdot \frac{\large\pi}{\large 2} \sqrt{\frac{2}{\large \pi}}\,{\mathrm cosech}\left(\frac{\pi x}{2} \right) \\ \vspace{10pt} \\ &=& -i \cdot \sqrt{\frac{\large \pi}{\large 2}}\,{\mathrm cosech}\left(\frac{\pi x}{2} \right) \end{eqnarray}
ここでは公式の記法にしたがっているので、逆フーリエ変換の結果も f(x) と表記されていてまぎらわしいのですが、前回求めたポアソンの和公式を使って G(\cdot) で表現した式に、この計算結果の f(x) を代入すると、
\qquad \begin{eqnarray} f(x) &=&  2 i \cdot \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=0}^{\infty}  \left{ G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right) \,\cdot\,\sin \left( (2n+1)\pi x \right\) \right} \\ \vspace{10pt} \\ &=&  \left( -i \cdot \sqrt{\frac{\large \pi}{\large 2}}\right) 2 i \cdot \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=0}^{\infty}  \left{ {\mathrm cosech}\left(\frac{(2n+1) \pi^2}{2 \beta}\right) \,\cdot\,\sin \left( (2n+1)\pi x \right\) \right}  \\ &=&  \frac{\large 2\pi}{\large \beta}\sum_{n=0}^{\infty}  \left{ {\mathrm cosech}\left(\frac{(2n+1) \pi^2}{2 \beta}\right) \,\cdot\,\sin \left( (2n+1)\pi x \right\) \right}\end{eqnarray}
となり、これが求める結果です。
双曲線関数フーリエ変換の公式の表では、フーリエ変換「される」関数の側に tanh 関数そのものの式はありませんが、一番近いのが \sinh\, a x / \cosh\, \pi x に対する (II 巻、§53、pp.278)

\qquad\qquad f(x) = \frac{\large \sinh\, a x}{\large \cosh\, \pi x} \qquad \qquad [ -\pi < a < \pi ]
\qquad\qquad F(y) = i \cdot \sqrt{\frac{\large 2}{\large \pi}}\, \frac{\large \sin(a/2) \, \sinh(y/2)}{\large \cosh\, y \,+\, \cos\, a}

で、a &lt \pi の制約を外れますが、形式的に a = \pi とおけば f(x) = \tanh\, \pi x となります。 こちらを使って計算を進めても同様の結果が得られますが、それについては省略します。