Gilbert Sine Shaper (7)

GSS

これまでに求めた、サイン波の高調波成分の振幅を表す式、
\qquad\qquad \eta(n) = \pi \cdot \frac{2 V_t}{E} \cdot \,{\rm cosech}\left(n \pi^2 \cdot (V_t / E) \right)
の中の cosech 関数は、指数関数の級数を使って、 (「岩波　数学公式 」II 巻、§37、pp.205)

\qquad\qquad \frac{1}{\sinh\, x} = {\rm cosech}\,x = 2 \sum_{n=0}^{\infty} e^{-(2n+1)x}\qquad\qquad\qquad\qquad [ x > 0 ]

と表すことができます。
x が大きいとして、この級数の第一項だけで近似すると、
\qquad\qquad {\rm cosech}(x)\; \approx \; 2 \cdot e^{-x}
となります。
この公式を知らなくても、x が大きいとき \exp(x) \gg \exp(-x) ですから、cosech 関数の定義から、
\qquad\qquad \begin{eqnarray}{\mathrm cosech}\, x &=& \frac{1}{\sinh\, x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} \\ \vspace{10pt} \\&\approx&\, \frac{2}{\large e^x} \,=\, 2 \cdot \exp(-x) \end{eqnarray}
となります。
この近似を使うと、
\qquad\qquad {\rm cosech}\left(n \pi^2 \cdot (V_t / E) \right) \; \approx \; 2 \cdot \exp\,\left( \frac{-n V_t \cdot \pi^2}{E} \right)
と書くことができ、文献の

\qquad\qquad \eta = 2 \cdot \exp\;\left( \frac{-V_t \cdot \pi^2}{2 \cdot E} \right)

に近い形になります。
文献の式では分母が 2 \cdot E になっていますが、おそらく、それは間違いだと思います。 さらに、(2 \pi V_t / E) の因子も抜けています。
振幅の式を指数関数を使って近似すると、
\qquad\qquad \eta(n) = \pi \cdot \frac{4 V_t}{E} \cdot \exp\left(-n \pi^2 \cdot (V_t / E) \right)
となるはずです。
この近似の精度はかなり良く、引数の値が小さくて誤差が多くなる条件、たとえば、n = 1,\quad E/V_t = 5 の場合でも cosech 関数を使った正確な式の値との差は 0.2 dB 程度です。