Gilbert Sine Shaper (5) - シンセ・アンプラグド

前回は、ポアソンの和公式から、 $g(\cdot)$ の(逆)フーリエ変換 $G(\cdot)$ を用いて $h(x),\qquad h(x+1)$ を記述しました。
$\qquad\qquad h(x)\, = \, \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{\large\pi}{\large 2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{ n\pi i x}G\left(\frac{n \pi}{\beta}\right)$
$\qquad\qquad h(x+1)\, = \, \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{\large\pi}{\large 2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{ n\pi i (x+1)}G\left(\frac{n \pi}{\beta}\right)$
両者の違いは $e^{n \pi i}$ の因子だけなので、その点に注意して $f(x)$ を計算すると、
$\qquad \qquad \begin{eqnarray} f(x) &=& h(x) - h(x+1) \\ &=& \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{\large\pi}{\large 2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left{ (1 - e^{n \pi i})\, \cdot\, e^{ n\pi i x}\,\cdot\, G\left(\frac{n \pi}{\beta}\right) \right} \end{eqnarray}$
となります。
ここで、 $e^{n \pi i}$ の値を $n$ が偶数の場合と奇数の場合とについて調べてみます。
$n$ が偶数の場合、 $n = 2 k$ と置けば、
$\qquad\qquad e^{n \pi i} \,=\, e^{2 k \pi i} \,=\, 1$
$\qquad\qquad (1 - e^{n \pi i})\,=\,(1 - e^{2 k \pi i})\,=\, 1 \,-\, 1 \,=\, 0$
となり、この因子により $n = 2k$ の偶数の項はゼロになります。
$n$ が奇数の場合、 $n = 2 k+1$ と置けば、
$\qquad\qquad e^{n \pi i} \,=\, e^{(2 k+1) \pi i} \,=\, -1$
$\qquad\qquad (1 - e^{n \pi i})\,=\,(1 - e^{(2 k+1) \pi i})\,=\, 1 \,-\,(-1) \,=\, 2$
となり、 $n = 2k+1$ の奇数の項だけが残ることになります。
まとめると、
$\qquad \qquad f(x) = \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{ (2n+1)\pi i x}\,\cdot\, G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right)$
と表されます。
この式では、 $n$ を $-\infty$ から $\infty$ まで変化させて、すべての奇数の整数について一項ずつ和を取っていますが、 $n$ を半分の範囲の 0 から $\infty$ まで変化させて、絶対値が等しい正と負の奇数の２項をひとまとめにして和を取るように変更します。
つまり、
$\qquad\qquad n = 0,\; 1,\; 2,\, ...$
に対し、
$\qquad\qquad (2n+1) \,=\, 1,\; 3,\; 5,\, ... \qquad\qquad (\,n = 0,\; 1,\; 2,\, ...\,)$
および
$\qquad\qquad -(2n+1) \,=\, -1,\; -3,\; -5,\, ... \qquad\qquad (\,n = 0,\; 1,\; 2,\, ...\,)$
に対する項を計算して和を取ることになります。
この変更を加えると、
$\qquad \qquad f(x) = \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=0}^{\infty} \biggl{ e^{ (2n+1)\pi i x}\,\cdot\, G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right) \\ \hspace{120} + e^{ -(2n+1)\pi i x}\,\cdot\, G\left(\frac{-(2n+1) \pi}{\beta}\right)\biggr}$
となります。
ここで、 $g(x)$ は純実数の奇関数ですから、(逆)フーリエ変換の性質より、 $G(y)$ は純虚数の奇関数
$\qquad\qquad G(-y) = -G(y)$
となることが分かります。これから、
$\qquad\qquad G\left(\frac{-(2n+1) \pi}{\beta}\right) \,=\, -G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right)$
となることが言えますから、 $f(x)$ の式は、
$\qquad \begin{eqnarray} f(x) &=& \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=0}^{\infty} \left{ G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right) \,\cdot\,\left[ e^{ (2n+1)\pi i x} - e^{ -(2n+1)\pi i x} \right] \right} \\ \vspace{10pt} \\ &=& 2 i \cdot \frac{\sqrt{\large 2\pi}}{\beta}\sum_{n=0}^{\infty} \left{ G\left(\frac{(2n+1) \pi}{\beta}\right) \,\cdot\,\sin \left( (2n+1)\pi x \right\) \right}\end{eqnarray}$
と書き直せます。
ここで、指数関数と三角関数の関係 (II 巻、§42、pp.220)