Gilbert Sine Shaper (4)

GSS

ポアソンの和公式 (Poisson summation formula) とは、簡単に言うと、フーリエ級数 (フーリエ展開) とフーリエ変換との関係を表すものです。
「岩波　数学公式」II 巻、§51、pp.263 の「Poisson の和の公式」の 2 番目の式

\qquad\qquad \sqrt{\alpha} \sum_{n=-\infty}^{\infty}e ^{2 n \pi i t}F(\alpha n) = \sqrt{\beta}\sum_{m=-\infty}^{\infty}f\left( \beta(x + m) \right)

を利用して計算を進めます。 ( \alpha \cdot \beta = 2 \pi)
ここで、この本では f(\cdot) のフーリエ変換を F(\cdot) と表記し、(II 巻、§51、pp.261)

\qquad\qquad F(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{i x y} dx

のように定義しており、その逆変換は (II 巻、§51、pp.262)

\qquad\qquad f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}F(y)e^{-i x y} dy

のような定義です。
ところが、前出の和公式は矛盾していて、このフーリエ変換対の定義にしたがうならば、左辺の指数の部分は
\qquad \qquad e^{-2 n \pi i t}
になるはずです。
逆に、指数関数は公式通りとすると、フーリエ変換対の定義をお互い逆にする必要があります。
ここでは、指数関数は公式通りで、F(\cdot) は f(\cdot) の逆フーリエ変換と解釈します。
まず、方針として tanh 関数をそのまま使わず、もっと一般的に g(\cdot) と置いて、奇関数であることだけを利用し計算を進めていき、最終的に(逆)フーリエ変換を求める段階で tanh 関数に戻します。
したがって、tanh 関数の級数は
\qquad\qquad \begin{eqnarray}f(x) &=& \sum_{-\infty}^{\infty}(-1)^m g\left(\beta (m + x) \right)\\ \vspace{10pt}\\ & = & \sum_{-\infty}^{\infty} g\left(\beta (2m + x) \right)\, - \sum_{-\infty}^{\infty}g\left(\beta (2m + 1 + x) \right)\end{eqnarray}
となります。　ここで、(-1)^m は扱いにくいので、m が偶数の項と奇数の項に分けました。
さらに、
\qquad\qquad h(x) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} g\left(\beta (2m + x) \right)
と定義すると、
\qquad\qquad f(x) = h(x)\, - \, h(x+1)
と表すことができます。 h(x) に対して公式が適用できるように、
\qquad\qquad t = x/2, \qquad\qquad \beta^\prime = 2 \beta, \qquad\qquad \alpha^\prime = 2\pi / \beta^\prime = \pi / \beta
と置くと、
\qquad\qquad\begin{eqnarray} h(x) &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} g\left(\beta (2m + x) \right) \;= \sum_{m=-\infty}^{\infty} g\left(2\beta (m + x/2) \right) \\ \vspace{10pt} \\ &=& \sum_{m=-\infty}^{\infty} g\left(\beta^\prime (m + t) \right) \\ \vspace{10pt} \\ &=& \sqrt{\frac{\alpha^\prime}{\beta^\prime}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{2 n\pi i t}G\left(\alpha^\prime n \right) \\ \vspace{10pt} \\ &=& \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{ n\pi i x}G\left(\frac{n \pi}{\beta}\right) \end{eqnarray}
となります。　２行目から３行目への変形でポアソンの和公式を使いました。　４行目で置き換えを元に戻しました。
同様に、
\qquad\qquad h(x+1)\, = \, \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{ n\pi i (x+1)}G\left(\frac{n \pi}{\beta}\right)
となります。
以下、次回に続きます。