ＦＭ音源プログラム (17) -- オペレータ (10)

今度は、サイン波テーブルの参照方法についての話です。
前の議論で、フェーズアキュムレータを N ビットとしましたが、その上位 M ビットを抽出して、サイン波テーブルの参照に使うものとします。
具体的には、ＦＭ音源プログラムでは、１周期分では 16 K エントリになる表を使っていますから、 M = 14 ビットということになります。

左の図の横軸をフェーズアキュムレータ出力の位相、縦軸をサイン波テーブルの参照に使う位相とします。
図で 0 から $2\pi$ まで伸びている直線は、フル周期のサイン波テーブルに対して、フェーズアキュムレータ出力に何も手を加えずに使う場合を示しています。
1/4 周期、つまり、0 〜 $\pi/2$ に相当するサイン波テーブルを使う場合は、サイン関数の対称性から、テーブルのインデクスは、この図の山形になっている線のように変化させます。
表であらわすと、

入力	出力
$\qquad\qquad\; 0 \rightarrow \pi/2$	$\qquad\; 0 \rightarrow \pi/2$
$\quad\pi/2 \rightarrow \pi$	$\pi/2\rightarrow 0$
$\quad\qquad\; \pi \rightarrow 3\pi/2$	$\qquad\; 0 \rightarrow \pi/2$
$3\pi/2 \rightarrow 2\pi$	$\pi/2\rightarrow 0$

のようになります。
それに加えて、位相が $\pi$ 〜 $2\pi$ の間は、表から求めた数値の符号を反転します。

サイン波テーブルを作成する際に、連続波形をサンプリングする方法に、対称性を考慮すると２種類の方法があることが分かります。
左の図は、1/4 周期内で 4 サンプル取る場合です。

青のバーで示した、位相が 0 の点と、 $\pi/2$ の点がサンプリング・タイミングとちょうど一致する場合
赤のバーで示した、位相が 0 の点と、 $\pi/2$ の点が、サンプリング・タイミングのちょうど中央に当たる場合

この２種類では、表のインデクスの折り返し方が違います。
1. の場合は、
$\qquad 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 0 \rightarrow \, ...$
2. の場合は、
$\qquad 0 \rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow \, ...$
となり、1. の場合は、本来の表のサイズ 4 より 1 大きい 5 エントリが必要なことが分かります。
一般には、1. の場合、表のエントリ数は $2^{\small M-2}+1$ になります。
2. の方法では、余分なエントリは必要ありませんが、テーブルに位相 0 のエントリが存在せず、オフセットが付いた状態となっています。
単独の波形なら、何も問題ありませんが、モジュレータとキャリアの周波数が違うと、初期の位相オフセット量が異なるため、波形に変化が生じ、音色が変わってしまう可能性があります。
これは、発音を開始するときにモジュレータ側とキャリア側のフェーズアキュムレータの初期値を調整しておけば避けることができます。　ただし、ちょっと面倒です。
1. の方式では、インデクス 0 は位相 0 の状態ですから、発音を開始するときに、単にフェーズアキュムレータをゼロ・クリアすればすみます。
具体的なプログラム例については、次回以降に説明します。