FPGA 版 FM 音源 (18) -- YMF262 測定 (10) - シンセ・アンプラグド

今回は、アタック・カーブを「数値」として細かく検討し、計算回路を考えます。
lb ドメインで単純に直線を発生させればいいディケイ/リリースと違って、アタックの発生には、何らかの「演算」が必要になります。
最も簡単には、「結果」の値を ROM テーブルに書き込んでおいて、EG アキュムレータを単に +1 していくだけの「アドレス・カウンタ」として使う方法があります。
そのような構成を下の図に示します。

ディケイ/リリースで lb ドメインで「直線」を生成するための EG アキュムレータ (インクリメンタ) を ROM アドレス・カウンタとして利用しています。
左の図で、点線で示してある ROM 出力からのフィードバック・パスは、アタック途中でキー OFF となってリリースが開始される場合に、現在の EG 出力値をアキュムレータにロードするために必要です。
また、図では示してありませんが、ディケイ/リリース動作に遷移した場合には ROM をバイパスして、EG アキュムレータの内容を出力する必要があります。
この構成では、ROM を使うので、アタックのカーブの形状は任意に選べます。
後で示すように、簡単な演算回路でアタック・カーブを発生できることが分かったので、この構成を取る事はないと思います。
AR = 13、R_of = 0 より「遅い」設定のアタック・カーブでは、下の表に示す、34 種類のリニア・エンベロープ出力値しか登場しません。
AR = 13、R_of = 0 で、ちょうど 1 サンプルで 1 ステップずつ変化します。
それより速いレートについては、まだ検討していません。

index	リニア出力	acc min	acc max	差分 min	差分 max	min/8	max/8	acc 増分	acc	リニア出力
-33	0	384	511	0	-127	48	63	-56	391	0
-32	2	334	351	-33	-177	41	43	-49	342	2
-31	6	295	301	-33	-56	36	37	-43	299	6
-30	14	259	262	-33	-42	32	32	-38	261	14
-29	29	227	228	-31	-35	28	28	-33	228	29
-28	54	199	199	-28	-29	24	24	-29	199	54
-27	94	174	174	-25	-25	21	21	-25	174	94
-26	151	152	152	-22	-22	19	19	-22	152	151
-25	234	132	132	-20	-20	16	16	-20	132	234
-24	338	115	115	-17	-17	14	14	-17	115	338
-23	468	100	100	-15	-15	12	12	-15	100	468
-22	620	87	87	-13	-13	10	10	-13	87	620
-21	787	76	76	-11	-11	9	9	-11	76	787
-20	978	66	66	-10	-10	8	8	-10	66	978
-19	1188	57	57	-9	-9	7	7	-9	57	1188
-18	1413	49	49	-8	-8	6	6	-8	49	1413
-17	1645	42	42	-7	-7	5	5	-7	42	1645
-16	1873	36	36	-6	-6	4	4	-6	36	1873
-15	2088	31	31	-5	-5	3	3	-5	31	2088
-14	2276	27	27	-4	-4	3	3	-4	27	2276
-13	2482	23	23	-4	-4	2	2	-4	23	2482
-12	2648	20	20	-3	-3	2	2	-3	20	2648
-11	2826	17	17	-3	-3	2	2	-3	17	2826
-10	3016	14	14	-3	-3	1	1	-3	14	3016
-9	3150	12	12	-2	-2	1	1	-2	12	3150
-8	3290	10	10	-2	-2	1	1	-2	10	3290
-7	3434	8	8	-2	-2	1	1	-2	8	3434
-6	3588	6	6	-2	-2	0	0	-2	6	3588
-5	3666	5	5	-1	-1	0	0	-1	5	3666
-4	3746	4	4	-1	-1	0	0	-1	4	3746
-3	3828	3	3	-1	-1	0	0	-1	3	3828
-2	3912	2	2	-1	-1	0	0	-1	2	3912
-1	3998	1	1	-1	-1	0	0	-1	1	3998
0	4084	0	0	-1	-1	0	0	-1	0	4084

上の表の左端のカラムの「index」は、アタック・カーブがピークに達して、終了する時点のサンプル・インデクスを「0」として、開始方向にマイナスの値としてラベル付けしたものです。
「リニア出力」のカラムは、2 オペレータ並列アルゴリズムの設定でキャプチャしたリニア出力値を 1/2 にして、1 オペレータ当たりの値に変換したものです。
「acc min」および「acc max」のカラムは、それぞれ、出力リニア値から、EG アキュムレータに保持されているであろう「lb 値」を逆算した、「最小値」と「最大値」です。
出力レベルが大きい場合には、16 ビットリニア値に「量子化」されても、その元となる lb 値は、ただ一通りに決まりますが、レベルが小さい場合には量子化の影響で、同じリニア値を与える lb 値が複数個存在するようになるので、その最小値と最大値を求めています。
前回示したように、アタック・カーブを「波形」として見た場合、ほぼ「ゴンペルツ曲線」と見なすことができました。
「ゴンペルツ曲線」は (→こちらの記事) に示すように、「指数関数の指数関数」の形ですから、「対数ドメイン」である「lb 値」の EG アキュムレータでは、単なる指数関数
$\qquad\qquad f(x)\, =\, a \cdot e^{-b \cdot x}$
を実現すれば良いことになります。
ここで、 $f(x)$ の微分 $f'(x)$ を求めると、
$\qquad\qquad f'(x)\, =\, -b \cdot a \cdot e^{-b \cdot x}\, =\, -b \cdot f(x)$
となります。
$x$ は $\Delta x$ ごとにサンプルされた値を取るものとして「微分」を「差分」に置き換えると、
$\qquad\qquad\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \,=\, -b \cdot f(x)$
となります。　ここで、 $\Delta x = 1$ とすれば、
$\qquad\qquad f(x + 1) \,=\, f(x) - b\cdot f(x)$
と表されます。
ちなみに、前回のグラフで、指数関数をフィッティングした結果は b = 0.1422 で 1/b は約 7 となっていました。
以上のことを念頭において、前の表の残りのカラムを説明します。
まず、「差分 min」と「差分 max」は、現在の EG アキュムレータ値と、一つ前のサンプルでの値との「差分」の「最小値」と「最大値」です。
「差分 min」は、

(現在の EG アキュムレータの最大値 - ひとつ前の EG アキュムレータの最小値)

であり、「差分 max」は

(現在の EG アキュムレータの最小値 - ひとつ前の EG アキュムレータの最大値)

です。
現在および一つ前の EG アキュムレータの値が一意に決まる場合は最小値と最大値は同じになります。
たとえば、サンプル・インデクス「-23」の EG アキュムレータの現在値が「100」であり、ひとつ前のサンプル・インデクス「-24」の EG アキュムレータ値が「115」ですから、その「差分」は「-15」と計算され、その値が「差分 min」と「差分 max」のカラムに書かれています。
「min / 8」と「max / 8」は、それぞれ、EG アキュムレータの最大値と最小値を「8」で割って切り捨てた (3 ビット右シフト) 値です。
ここで、「 / 8」のカラムと、「差分」のカラムを注意深く見比べると、たとえば、例に出したサンプル・インデクス「-23」の差分「-15」は、ひとつ前のサンプル・インデクス「-24」の「 /8」カラムの「14」をマイナスにして、さらに 1 を引いたものになっていることが分かります。
これはサンプル・インデクス「-23」に限ったことではなく、差分が一意に決まるサンプル・インデクス「-27」以降、「0」までのすべてのサンプル・インデクスにおいても成り立っています。
つまり、

EG アキュムレータの値 (のコピーを) を 3 ビット右シフト
符号反転 (2 の補数を取る)
1 を引く
現在の EG アキュムレータに加算

という手順で、次のサンプル・インデクスでの EG アキュムレータの値が得られることが分かります。
ここで、2 の補数を取る手順は、

全ビット反転 (1 の補数を取る)
1 を足す

であることに注意すると、「1 を足す」と「1 を引く」が打ち消しあって、1 の補数を取るだけで良くなり、結局、上の手順は、

EG アキュムレータの値 (のコピーを) を 3 ビット右シフト
全ビット反転 (1 の補数を取る)
現在の EG アキュムレータに加算

となります。

これを回路で表現すると、左の図のようになります。
EG アキュムレータの値が一意に決まらないサンプル・インデクス「-28」以前については、直接推測はできませんから、EG アキュムレータの初期値を「511」として、この方式で計算してみたところ、実際にキャプチャしたリニア値と完全に一致するアタック・カーブの系列を得ることができました。
これが、最初の表の残りの 3 つのカラムです。
「acc 増分」は、現在の値を得るために、この値をひとつ前の EG アキュムレータ値に加えたということを示し、「acc」は現在の EG アキュムレータ値、「リニア出力」は lb-リニア変換により得られたリニア値を示しています。
EG アキュムレータの初期値「511」から出発すると、

511 → 447 → 391

と変化して、最初の表のサンプル・インデクス「-33」の状態になります。
つまり、初期値の「511」はサンプル・インデクス「-35」、「447」はサンプル・インデクス「-34」の状態に対応し、36 ステップでアタック・カーブ全体が構成されることになります。
初期値を変えながら、リニア値のキャプチャ結果と完全に一致するものを探索すると、

511、449、448、447、392、391

と選んだ系列だけが完全に一致します。
449、448 は 447 に、392 は 391 に極めて近く、同じ系列と見なせますから、測定結果と完全に一致するのは初期値 511 から始まる系列ひとつと言ってもよいでしょう。
初期値を 511 から 391 まで変化させて得たアタック・カーブのグラフを下に示します。

測定結果と完全に一致はしない系列でも、ゴンペルツ曲線としての変化はしています。
最後に、C プログラムで表現したものを下に示します。

// OPL3 EG (AR) simulator
// 2011/01/26

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int lb2lin_tab[256];

//
// lb-to-lin conversion with sign
//
int lb2lin(int sign, int lb)
{
  int lin, sft;
  sft = (lb / 256); // integer  part of lb value
  lb  = (lb % 256); // fraction part of lb value
// force 0 if too small 
  lin = ( (15 < sft) ? 0 : (lb2lin_tab[lb] >> sft) ); 
  return((-sign) ^ lin ); // 1's complementer
} // int lb2lin()

//
// generate lb-to-lin table for 8 bit fraction part of lb
//
void gen_lb2lin_tab( void )
{
  int i;
  double v;
  for (i = 0; i < 256; i++) { // for 8 bit fraction
//  (2 ** (-x)) = exp(-log(2) * x)  
    v = 2048 * exp(-log(2) * (i + 1) / 256.0);
    lb2lin_tab[i] = (int)(v + 0.5) * 2; 
  } // for (i = 0; ...
} // void gen_lb2lin_tab()

void main( void )
{
  int i, op_out, eg_acc;
  gen_lb2lin_tab();
  eg_acc = 511; // initial value
  printf("#index op_out eg_acc \r\xa");
  for (i = -35; i <= 0; i++) {
// convert lb to linear value
    op_out  = lb2lin(0, (eg_acc << 3)); 
    printf("%5d %5d %5d \r\xa", i, op_out, eg_acc); 
// add 1's complement of 3-bit right shifted eg_acc
    eg_acc += (~(eg_acc >> 3)); 
  } // for (i = 0; ...
} // void main()

EG アキュムレータの更新は、

    eg_acc += (~(eg_acc >> 3));

の 1 行です。　(eg_acc >> 3) で 3 ビット右シフトした値を単項演算子「~」で全ビットの反転 (1 の補数) を行い、アキュムレータに足しこんでいます。
減算で表現したい場合は、

    eg_acc -= (1 + (eg_acc >> 3));

となります。