dsPIC33FJ64GP802 (27) --- 周波数シフター (11)

 2019 年 3 月 24 日付けの記事では、方形波を表すフーリエ級数表現の式を積分して、三角波フーリエ級数表現が得られることを示しましたが、サイン/コサイン入れ替え版の式は求めていませんでした。
 1.442-3. 式の左辺の積分を計算すると次のようになります。

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Web サイト移転

 2019 年 3 月 31 日に Yahoo! ジオシティーズのサービスが終了するのに対応して、ジオシティーズ上にあったWeb サイト「JO-MIDI-FM」

http://www.geocities.jp/pcm1723/

XREA 上の

http://pcm1723.g3.xrea.com/

に移転しました。
 2019 年 9 月 30 日までは、 従来のジオシティーズの URL をアクセスしても、XREA の方にリダイレクトされる設定になっています。
 Yahoo! ジオシティーズ無料版のホームページ容量 50 MB (当時) をほぼ使い切り、新たなコンテンツの追加をしなくなってから数年放置したままですが、とりあえず、内容は残しておくことにしました。

dsPIC33FJ64GP802 (26) --- 周波数シフター (10)

 解析的には積分が難しい関数でも、べき級数としての表現が得られれば、その式を項別に積分して結果の式を求めることができます。
 得られた級数を必要な精度を満たす項まで計算すれば、数値としての値が求まります。
 Maxima にはテイラー級数 (Taylor series) を求める taylor() 関数が用意されており、それを利用して逆グーデルマン関数 agd(x) を展開し、積分すると、

のようになります。

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dsPIC33FJ64GP802 (25) --- 周波数シフター (9)

 前回の三角波のサイン → コサイン置き換え版を、数式処理システムの「Maxima」でフーリエ級数以外の表現で求めてみたところ、やはり、初等関数では表せない形になるようです。
 まず、「方形波」を積分すれば「三角波」になるので、方形波のフーリエ展開の式である 1.442-4. 式の左辺を積分した値を求めると、三角波フーリエ展開である 1.444-5. 式の左辺、あるいは 1.444-6. 式の左辺に結び付くはずです。

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dsPIC33FJ64GP802 (24) --- 周波数シフター (8)

 偶対称の位置に配置した方形波のフーリエ展開である 1.442-4. 式のサイン → コサイン置き換え版である 1.442-3. 式


\hspace{-5em}
  \displaystyle
    \sum_{k\;=\;1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{\sin (2k-1) x}{2k-1} = \frac{1}{2}\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) 
      \qquad 
      [-\pi < x < \pi ] \tag{1.442-3.}

と、前回示した逆グーデルマン関数の定義

\hspace{0em}\displaystyle
\begin{align}
     x = \mathrm{gd}^{-1}\ u = \int_{0}^{u} \frac{dt}{\cos t} = \ln \tan \left( \frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)
\end{align}

の右辺を比較すると、

  • 係数 \frac{1}{2} の有無
  • 変数 x と変数 u の違い

を除いては同じ形になっていることが分かります。

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